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第四百四十二章 或许这就是巧合吧

学霸从改变开始 一白化贝 2292 2023-12-11 09:27:15

回到宿舍的陈舟,把背包仍在椅子上,伸手翻开了一页草稿纸。

草稿纸上,所写的内容,如果那位诺特学姐在的话,一定惊呼出声。

因为,这也草稿纸的内容,就是关于“伽罗瓦群的阿廷L函数的线性表示”的研究内容。

这也是陈舟在阿廷教授说要给他布置子课题进行研究时,略显迟疑的原因。

相比于阿廷教授的子课题,对“伽罗瓦群的阿廷L函数的线性表示”进行研究,会更有趣。

“这个诺特学姐,倒真会找课题……”

“或许,这就是巧合吧?”

陈舟拿起这张草稿纸,前后看了一遍,无奈的摇了摇头。

要不是课题撞车,陈舟或许还会多考虑一下。

可自己感兴趣的课题,居然还被人邀请一起研究。

那陈舟就只有拒绝了。

倒不是陈舟觉得合作不好,只是他现在更喜欢独立的进行研究。

尤其是这种感兴趣的课题。

除非是杨依依和自己一起研究,其他人,陈舟都会不习惯。

至于这个课题,要是被诺特和她的导师捷足先登了。

那陈舟也不会在意,相反,还会去恭喜这位诺特学姐。

毕竟数学研究这种事,没有什么是一定的。

轻轻放下这张草稿纸,陈舟把背包拿开,坐在椅子上。

然后找到一张新的草稿纸,拿起笔,开始梳理这个课题所牵涉的研究内容。

当然,这个课题的优先级是远远低于哥猜的研究和胶球实验课题的。

也许等到哥猜解决后,陈舟才会把它的优先级提起来。

诚如诺特所言,这里面的一系列问题,简直太令人神往了。

【对于每一个一元多项式,我们可以定义L函数,它们通常叫做戴德金ζ函数……】

这段话写完后,陈舟拿笔把戴德金ζ函数画了个圈,习惯性拿笔在旁边点了几下。

然后,在这个圈的旁边,写下了黎曼ζ函数。

黎曼ζ函数是一元一次多项式的特殊情况。

不过,戴德金ζ函数和黎曼ζ函数一样,可以用初等证明的方法,证明其满足这一函数的前两个条件。

想到这,陈舟的思维扩散开来。

戴德金ζ函数一个自然的推广,是考虑多元多项式的情况。

而这里,就进入了代数几何的领域。

多元多项式的零点,定义了一个几何对象,也就是代数簇。

对代数簇的研究,便被称之为代数几何。

说起来,代数几何虽然是一门古老的学科,但它也是在20世纪,才经历了一次蔚为壮观的发展。

20世纪初期,意大利学派对代数曲面的研究,有了长足的进展。

然而,其不严谨的基础,促使奥斯卡·扎里斯基和安德烈·韦伊重构了整个代数几何的基础。

韦伊更是指出了代数几何和数论与拓扑之间的惊人联系。

在之后,被誉为代数几何皇帝的格罗滕迪克,为了理解韦伊的猜想,更进一步用更抽象本质的方法,重新构建了代数几何的基础,并引进了一系列强大的工具。

特别是他的上同调理论,最终促使他的学生,也就是陈舟的三位审稿人之一的德利涅教授,完整的证明了韦伊猜想。

并因此,获得了菲尔兹奖。

事实上,格罗滕迪克的上同调理论,根植于代数拓扑。

而且,格罗滕迪克同时构造了一系列上同调理论,它们具有非常类似的性质。

但却起源于非常不同的构造。

格罗滕迪克试图寻找出它们的共同本质,并由此提出了Motive理论。

这一理论并不完整,因为它基于一系列的猜想。

Motive理论也被格罗滕迪克称之为标准猜想。

如果标准猜想被证明,那也就得到了完整的Motive理论。

它导出了所有上同调,同时能证明一系列表面无关的问题。

举个例子,七大千禧难题之一的霍奇猜想的重要性,就在于它能导出标准猜想。

不得不说,标准猜想的证明,大概算是代数几何里最要紧的事了。

但是,标准猜想的证明难度,却又是顶级的。

真要比一下的话,从陈舟的角度来看,标准猜想的难度,得比哥猜高一个等级。

收回思绪,陈舟回到眼前的草稿纸上,拿起笔,开始写到:

【关于Motivic L函数和自守L函数,每一个Motivic L函数,都是由Motivic给出的。

对于这些函数,很容易验证其满足黎曼ζ函数的第一个条件,但是第二个条件,还无法证明一般的情况。

一个已知例子是,有理数上椭圆曲线的情形,也就是费马大定理的证明的一个推论(谷山-志村猜想)。】

陈舟记得在文献上看到过,这个谷山-志村猜想的完整情形,是在2001年,由怀尔斯教授的几位学生证明。

不得不说,怀尔斯教授的学生在面对费马大定理的推论时,都有buff加成。

陈舟在谷山-志村猜想旁边,做了个标记,便继续写到:

【对于几乎所有L函数,第三个条件,也就是黎曼假设,都是未知的。

唯一的例外是Motive在有限域的情形,此时L函数满足黎曼假设的条件,正是韦伊猜想。】

陈舟又在韦伊猜想旁边,写下了“德利涅”三个字。

虽然看似这里面的问题,被解决了不少。

但实际上,尚未解决的问题,才是真正的庞大。

对于对于Motivic L函数的特殊值的问题,现在普遍的研究认为,需要Motive的一个推广。

这是一个更加庞大,也更加遥远的梦想。

数学家们把它称为mixed motive。

它的存在能够推导出一系列及其漂亮的等式,推广欧拉对于黎曼ζ的公式。

著名的贝林森猜想,七大千禧难题之一的BSD猜想等,都属于可以被推导之列。

从某种程度来说,mixed motive可以和标准猜想相媲美,甚至于超过了标准猜想。

因为目前的数学界,还不知道如何去构造它罢了。

当然,目前的数学界虽然无法构造mixed motive,却能够构造它的一个弱化变形,也就是导出范畴。

俄罗斯数学家弗拉基米尔·沃埃沃德斯基,就是因为给出了这样一个构造,从而获得了2002年的菲尔兹奖。

想到这,陈舟的内心憧憬无比,这要是解决了标准猜想,再构造出mixed motive理论。

那自己能拿多少个菲尔兹奖?

自己怕不是会成为第一个拿奖,拿到亿万富翁的数学家?

但很快,陈舟就清醒了。

都没到晚上睡觉呢,还是先不做梦了。

老老实实,脚踏实地的,一步一步做好自己的研究,才是最主要的。

不再多想的陈舟,继续在草稿纸上梳理这个课题所牵涉的研究内容。

【每一个Motive都能给出一系列伽罗瓦群的表示以及复几何中的霍奇结构,它们完全决定了L函数,因而考虑它们是更根本的问题……】

事实上,Motive是比L函数更本质的存在,但是很难直接计算它。

替代的办法是考虑Motive的不同表达。

从已有的例子来看,类域论已经解决了交换伽罗瓦群的情形。

也就是说,一个简单,但却根本的想法,是群的表示比群本身更加基本。

因而需要考虑的不是伽罗瓦群本身,而是它的表示。

这样所有的交换伽罗瓦群,就等价于一维的伽罗瓦表示,而非交换的就等价于高维的表示。

想到这,陈舟微微皱眉,他把电脑打开,开始查找文献资料。

按照这个思路来看的话,就必须必须考虑它们的内在对称性。

可令人惊讶的是,这些对称性很大程度上来源于一类完全不同的数学对象,也就是自守形式。

自守形式的起源可以追溯到19世纪,数学大神庞加莱是这一方向的先驱者。

陈舟手速飞快的在电脑上,输入想要查找的内容。

再一一把文献下载下来。

原本打算回来待一会,就去吃饭的陈舟。

就这样,不知不觉的陷入了数学的世界之中。

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